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世居瑞士的伯努利家族 (Bernoulli family) 是数学史和科学史上最杰出的家族之一，他们从十七、十八两世纪以来，三代中出现了八位非常了不起的数学家和科学家，伯努利家族在十七、十八世纪的微积分的发展和应用上扮演着领导的角色，既使是对现代数学演变作最简明的叙述，也无法把他们的贡献一笔带过。
伯努利家族是于1583年为了躲避天主教徒对新教徒的大屠杀而由安特卫普（Antwerp，现为比利时北部的一海港）逃亡的许多新教家族之一。他们最初逃至法兰克福，后来再迁往瑞士，在贝塞尔 (Basel) 地方定居下来，伯努利家族的先祖并与贝塞尔地方最古老的家族之一通婚，成为一个大商人。以下我们先将柏氏家族十七、十八世纪的世系表列出，然后再对他们加以个别介绍。
在世系表中最上面的老尼古拉∙伯努利就像他的祖父和曾祖父一样是个大商人。除了他曾祖父之外，其他的先祖都是与商人的女儿结婚，并且累积了大批的财富。柏氏家人除了经商之外也有人脱离家族经商的传统而从医。数学天赋可能早已溶入这个精明的商人家族的血统中，但是它的显现却是突发的。
当莱伯尼兹关于微积分的论文发表于《Acta Eruditorum》后，雅克比∙伯努利 I(Jacob Bernoulli I，1654-1705) 和约翰∙伯努利 I(Johann Bernoulli I ,1667-1748) 两兄弟就专注数学研究而成为数举家，他们是最早体认到微积分的威力并且应用这工具于各类问题的少数数学家之一，从1687年直至他去世为止，雅克比一直是贝塞尔大学的数学讲座。约翰本是个医生，后来也改行成为数学家。于1697年成为格罗宁根大学 (Groningen University) 的数学教授，在雅克比于 1705年去世之后，约翰继承他兄长在贝塞尔大学的数学讲座职位，一直到他去世为止，这两兄弟经常彼此刻薄地互责互谑但是却一直保持与莱伯尼兹交换意见并且相互交换意见。
雅克比(I)
雅克比∙伯努利对数学有很多贡献，最重要的包括解析几何、机率论和变分学(calculus of variation) 三大方面。他的机率论著作《Ars Conjectand》在他去世后八年即1713年才出版，该书内涵所包括理论有些至今仍甚具价值，广泛地应用于保险业，统计和对遗传的数学研究。
雅克比一项研究就是他大大地丰富了微积分学。他继续莱伯尼兹的工作，对各种链线 (catenary curves) 作了相当详尽的研究。这些雅克比所研究的数学后来广泛地应用于建造吊桥和高电压线路。在雅克比解决这类问题时，它们是新且困难的问题，如今却成为初等微积分教科书或力学教科书中的练习题。
在数学上有些东西冠着雅克比∙伯努利的名字，例如在统计和机率论上的 「伯努利分配」和「伯努利定理」;微分方程上的「伯努利方程式」；数论中的「伯努利数」和「伯努利多项式」，以及微积分上的「伯努利双扭线」。雅克比‧伯努利在1690年刊登于《Acta Eruditorum》上关于等容曲线 (isochrone curve) 问题的解答中。我们首度见到 integral（积分）这个字以微积分的意味出现。莱伯尼兹原先称积分学为 Calenlus summatorius，1696年莱伯尼兹和约翰∙伯努利协议改称它为 culus integralis。
雅克比∙伯努利的箴言是 Invito patre sidera verso (Against my father’s will I study the stars)──以讽刺的口语纪念他父亲徒然地阻止他学习数学和天文。他对于等角螺线 (equi-angular spiral) 在各种变换下的再生性深感兴趣，因而效尤阿基米得，要求把这螺线刻在他的墓碑上，并且附注 Eadem mutata resurgo (I shall arise the same, though changed)。
约翰(I)
约翰∙伯努利在数学上的贡献比他的哥哥雅克比∙伯努利还多。虽然他是个善妒和好争吵的人，却是他那时代最成功的教师之一。他对微积分有很多贡献，并且在引起欧陆人士对于微积分的威力的赏识颇具影响力。1696年洛必塔（Marquis de L’Hospital, 1661～1704）出版了第一本微积分的教科书，实际上是约翰∙伯努利所编写而在一种奇特的金钱协议下让于洛必塔的。在这种情形下，计算不定式 0/0 的方法在后来的微积分教科书中被错误地命名为洛必塔法则。
约翰∙伯努利所从事的研究范围相当广博，包括与反射和折射相关的光学现象，曲线族垂直投射的决定，解析三角，幂数计算和其他一些问题。他较有名的页献是对于捷线 (brachysto chrone) 问题的研究──重力场上一有重质点在两已知点间由一点以最快速度下落至另一点所成曲线的决定，该曲线实为摆线 (cycloid curve) 的一弧。这个问题雅克比∙伯努利也曾探讨过。摆线同时也是同线 (tauto chrone) 问题的解答──决定一曲线使一有重质点无论由曲线上的那一点开始均在同一时间区间内到达曲线上固定点。
约翰∙伯努利有强烈的爱与憎。莱伯尼兹和尤拉是他心目中的神，牛顿则深为他所憎恶及大大地低估。约翰是个精力充沛、头脑清晰的人，在他八十高龄临死的前几天仍然勤奋不倦。
尼古拉(I) Nicolaus Bernoulli
尼古拉(I)（Nicolaus I, 1662～1716）也深具数学天赋，就像他的兄弟雅克比(I)及约翰(I)一样，开始时选错行。他十六岁就得到贝塞尔大学哲学的博士学位，并且在二十岁时得到法学的最高学位。在他成为圣彼得堡的数学教授之前，他原是伯尔尼 (Bern)的法学教授，他去世时曾获得俄国凯瑟琳女王特赐国葬的殊荣。
尼古拉(III)
约翰，伯努利有三个儿子，尼古拉(III)，丹尼尔 (I)和约翰(II)，均为十八世纪著名的数学家和科学家，尼古拉(III)（1695～1726）在数学上很早就已露头角，不幸于受聘至圣彼得堡学术院 (St.Petersburg Academy) 后才八个月就溺水而亡，他发表过曲线，微分方程和机率方面的论文，有一个机率论上有名的问题，由于是他在圣彼得堡所提出，后来均称其为彼得堡诡论 (Petersburg paradox)，问题如下：某甲投掷一枚硬币，倘若第一次就掷得正面，则得 1 便士；在第二次才掷得正面，得 2 便士；第三次才掷得正面，可得 4 便士，如此类推。试问他的期望值应为若干？数学理论显示某甲的期望值应为无限大，为一个实际上不可能的结果。
丹尼尔(I)与约翰(II) Danial Bernoulli
约翰(I)本想强迫他的第二个儿子丹尼尔(I)（1700～1782）从商，但是丹尼尔(I)却宁愿学医，于1721年得到医药方面的学位。丹尼尔在11岁时就跟比他仅大5岁的哥哥尼古拉III学几何，他是约翰∙伯努利三个孩子中最出名的一个。丹尼尔和尤拉是相当亲密的好友。有时也是友好的对手。正如尤拉一样，丹尼尔∙伯努利曾经十度赢得法国学术院的奖金（有少数几次是与其他竞争者合得）。1725年（当时他仅25岁）丹尼尔就继承了大哥尼古拉在圣彼得堡的职位。但是当时的圣彼得堡仍是过着相当简陋野蛮的生活，使他深感不适，因此在七年后第一次有机会离开时就赶快回到贝塞尔，在贝塞尔大学他曾任解剖学和植物学的教授，后来因对科学发生兴趣，改为担任物理学的教授，成为毫无保留地接受牛顿的宇宙观的第一个非英籍科学家。他专注全力于机率：天文物理和流体力学方面的研究。
在机率论方面他曾提出或然率期望值 (moral expectation) 的概念。在他1738年出版的《Fydrodynnmica》一书中，出现了流体力学的原理，在现今的初等物理学教科书上称为「伯努利原理」。他并发表了有关潮汐的论文；建立气体动能理论，研究弦的振动，并且是偏微分方程的拓荒者，以及许多其他应用数学上的问题：因此有人称丹尼尔∙伯努利为数学物理的奠基者。约翰的幼子约翰(1710-1790)也是开始时并非专攻数学而是习法律的。他在继承父亲约翰I在贝塞尔大学的数学教授职位之前，原是担任修辞学教授 (professor of eloquence) 的职位。他的论著主要是物理，他曾三度夺得巴黎奖金（通常能夺得一次就足以令数学家大感满足了），他尤其对热和光的数学理论感兴趣。
尼古拉(II)
另外还有一位尼古拉II (1687-1759) 是雅克比I和约翰I的侄子，也在数学界颇有名气。这个尼古拉曾担任过巴杜亚大学 (Padua University) 的数学讲座，这个职位曾为伽利略所有。尼古拉II写了许多关于几何和微分方程方面的论文，后半世则改教授逻辑和法律。
约翰(III)
约翰II的长子约翰III (1746-1807)重踏家族开始时选错行的覆辙，跟他的父亲一样学医。13岁时就得到哲学的博士学位。19岁时被任命为柏林的皇家天文学家。他着有天文、机率学理、循环小数和不定方程式方面的论文。
雅克比(II)
约翰II的另一子雅克比II (1759-I789)开始时习法，在21岁时一度改为实验物理，后来转为学习数学，成为圣彼得堡学术院的数学和物理部门的一员。他的早夭（30岁时失足淹死）结束了他本来极有希望的事业，我们对他的了解不多，只知道他是和尤拉的孙女结婚。
结论
由于数学界的人才辈出，伯努利家族的子孙纷纷改习其他的学科，并且在各方面均有相当优异的表现，只是不像以上所谈及的几位那么出色就是了。
关于有名的伯努利家族，人们盛传着许多传说和轶事，其中有一个故事是这样的：丹尼尔∙伯努利年青的时候有一次出外旅行，遇见一位陌生人，两个人谈得很投机，于是柏氏自我介绍说：「我是丹尼尔∙伯努利。」那人听了，就用一种讽刺的口气说「我是牛顿 (Isaac Newton，1642-1727)。这句话使丹尼尔终身引以为荣，认为是他所得到最大的恭维。
1.E. T. Bell:《Men of Mathematics》, Simon and Schuster New York 1937.
2.Howard Eves:《An Introduction to the history of Mathematics》, 3rd edition, Holt, Rinehart and Winston, 1964.
3.Isaac Asimov:《Isaac Asimov’s Biographical Encyclopedia of Science and Technology》, New Revised edition, Avon Books, 1972.